On Generating Complex Numbers for FFT and NCO Using the CORDIC Algorithm

This report has been compiled to document the thesis work carried out by Anton Andersson for Coresonic AB. The task was to develop an accelerator that could generate complex numbers suitable for fast fourier transforms (FFT) and tuning the phase of complex signals (NCO). Of many ways to achieve this, the CORDIC algorithm was chosen. It is very well suited since the basic implementation allows rotation of 2D-vectors using only shift and add operations. Error bounds and proof of convergence are derived carefully The accelerator was implemented in VHDL in such a way that all critical parameters were easy to change. Performance measures were extracted by simulating realistic test cases and then compare the output with reference data precomputed with high precision. Hardware costs were estimated by synthesizing a set of different configurations. Utilizing graphs of performance versus cost makes it possible to choose an optimal configuration. Maximum errors were extracted from simulations and seemed rather large for some configurations. The maximum error distribution was then plotted in histograms revealing that the typical error is often much smaller than the largest one. Even after trouble-shooting, the errors still seem to be somewhat larger than what other implementations of CORDIC achieve. However, precision was concluded to be sufficient for targeted applications. Sammanfattning Den här rapporten dokumenterar det examensarbete som utförts av Anton Andersson för Coresonic AB. Uppgiften bestod i att utveckla en accelerator som kan generera komplexa tal som är lämpliga att använda för snabba fouriertransformer (FFT) och till fasvridning av komplexa signaler (NCO). Det finns en mängd sätt att göra detta men valet föll på en algoritm kallad CORDIC. Den är mycket lämplig då den kan rotera 2D-vektorer godtycklig vinkel med enkla operationer som bitskift och addition. Felgränser och konvergens härleds noggrannt. Acceleratorn implementerades i språket VHDL med målet att kritiska parametrar enkelt skall kunna förändras. Därefter simulerades modellen i realistiska testfall och resulteten jämfördes med referensdata som förberäknats med mycket hög precision. Dessutom syntetiserades en mängd olika konfigurationer så att prestanda enkelt kan viktas mot kostnad. v vi Ur de koefficienter som erhölls genom simuleringar beräknades det största erhållna felet för en mängd olika konfigurationer. Felen verkade till en början onormalt stora vilket krävde vidare undersökning. Samtliga fel från en konfiguration ritades i histogramform, vilket visade att det typiska felet oftast var betydligt mindre än det största. Även efter felsökning verkar acceleratorn generera tal med något större fel än andra implementationer av CORDIC. Precisionen anses dock vara tillräcklig för avsedda applikationer.